燕赵教育网讯（老虎）高考的考生们是否已经准备好了，数学复习是否已经把难题熟练掌握了，如果觉得还有什么地方没有复习到，那就看看构造函数的知识点，希望对你有所帮助。

    构造函数解决高考导数问题

　　1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（    ）

　　A．         B．        C．          D．

　　2.  （2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=      ．

　　3.（2016·北京理）（本小题13分）

　　设函数f (x)=x +bx，曲线y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e－1)x+4，

　　（I）求a,b的值；

　　(II) 求f (x)的单调区间．

　　4.（2017·全国III卷文）（12分）

　　已知函数 =lnx+ax2+(2a+1)x．

　　（1）讨论 的单调性；

　　（2）当a﹤0时，证明 ．

　　5.  （2016o四川卷文）（本小题满分14分）

　　设函数f (x)=ax2－a－lnx，g(x)=1x －eex ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

　　（Ⅰ）讨论f (x)的单调性；

　　（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

　　（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f (x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.

　　6.（2016o课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）

　　已知函数 .

　　（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；

　　（Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围.

　　7.（2017·天津文）（本小题满分14分）

　　设 ， .已知函数 ， .

　　（Ⅰ）求 的单调区间；

　　（Ⅱ）已知函数 和 的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

　　（i）求证： 在 处的导数等于0；

　　（ii）若关于x的不等式 在区间 上恒成立，求b的取值范围.

　　8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．

　　（1）设a=2，b= ．

　　①求方程f（x）=2的根；

　　②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；

　　（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．

　　9.  （2016·山东理） (本小题满分13分)

　　已知 .

　　（I）讨论 的单调性；

　　（II）当 时，证明 对于任意的 成立.

　　10.  (2017·江苏文)（本小题满分16分）

　　已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

　　(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

　　(2)证明：b?>3a;

　　(3)若 ，  这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围.

　　构造函数解决高考导数问题答案

　　1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（    ）

　　A．         B．        C．          D．

　　【答案】D

　　【解析】由题意，存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，即存在唯一的整数x0，使 (2x0－1)＜a(x0－1)．

　　设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝a(x－1)．g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，

　　从而当x∈－∞，－12时，g(x)单调递减；当x∈－12，＋∞时，g(x)单调递增．

　　又h(x)＝a(x－1)必过点(1，0)，g(0)＝－1，当g(0)＝h(0)时，a＝0－（－1）1－0＝1.

　　而g(－1)＝－3e，当g(－1)＝h(－1)时，a＝0－－3e1－（－1）＝32e，

　　要满足题意，则32e≤a＜1，选D.

　　【点评】关键点拨：把"若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0"转化为"若存在唯一的整数x0，使得 (2x0－1)＜a(x0－1)"．

　　测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用．考查转化与化归思想．

　　2.（2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+１)的切线，则b=      ．

　　【答案】1－ln 2

　　【解析】设y＝kx＋b切y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，切y＝ln (x＋1)的切点为(x2，y2)．由导数的几何意义和切点的特征可知kx1＋b＝ln x1＋2＝y1，k＝1x1，① kx2＋b＝ln（x2＋1）＝y2，k＝1x2＋1.②

　　由①消去x1，y1整理可得b＝1－ln k，③

　　由②消去x2，y2整理可得b＝－ln k＋k－1.④

　　联立③④可得1－ln k＝－ln k＋k－1，∴k＝2，∴b＝1－ln k＝1－ln 2.

　　【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系．还需注意切点既在函数图像上，也在切线上．对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达求解．

　　测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练．(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分．

　　3.（2016·北京理）（本题满分13分）

　　设函数f (x)=x +bx，曲线y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e－1)x+4，

　　（I）求a,b的值；

　　(II) 求f (x)的单调区间． 解：(1)因为f (x)＝xea-x＋bx，所以f ′(x)＝(1－x)ea-x＋b.

　　依题设，有f（2）＝2e＋2，f ′（2）＝e－1，即2ea-2＋2b＝2e＋2，－ea-2＋b＝e－1.

　　解得a＝2，b＝e.

　　(2)由(1)知f (x)＝xe2-x＋ex，

　　由f ′(x)＝e2-x(1－x＋ex-1)及e2-x>0知，f ′(x)与1－x＋ex-1同号．

　　令g(x)＝1－x＋ex-1，则g′(x)＝－1＋ex-1.令g ′(x)＝0，得x＝1.

　　所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；

　　当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

　　故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，

　　从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．

　　综上可知，f ′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．

　　故f (x) 的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

　　【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解．

　　(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错．

　　4.（2017·全国III卷文）（12分）

　　已知函数 =lnx+ax2+(2a+1)x．

　　（1）讨论 的单调性；

　　（2）当a﹤0时，证明 ．

　　解：（1）

　　当 时， ，则 在 单调递增

　　当 时，则 在 单调递增，在 单调递减.

　　（2）由（1）知，当 时，

　　，

　　令  （ ），令 ，解得

　　∴ 在 单调递增，在 单调递减.

　　∴ ，

　　即 ，∴ .

　　5.（2016o四川卷文）（本题满分14分）

　　设函数f (x)=ax2－a－lnx，g(x)=1x －eex ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

　　（Ⅰ）讨论f (x)的单调性；

　　（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

　　（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f (x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.

　　解：(1) f ′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0)．

　　当a≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)内单调递减．

　　当a>0时，由f ′(x)＝0得x＝12a.

　　当x∈0，12a时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；

　　当x∈12a，＋∞时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．

　　(2)证明：令s(x)＝ex-1－x，则s′(x)＝ex-1－1.

　　当x>1时，s′(x)>0，所以ex-1>x，从而g(x)＝1x－eex>0.

　　(3)由(2)知，当x>1时，g(x)>0.

　　当a≤0，x>1时，f (x)＝a(x2－1)－ln x<0.

　　故当f (x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.

　　当0<a<12时，12a>1.

　　由(1)有f12a<f(1)＝0，而g12a>0.

　　所以此时f (x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．

　　当a≥12时，令h(x)＝f (x)－g(x)(x>1)，

　　则h′(x)＝2ax－1x＋1x2－e1-x>x－1x＋1x2－1x＝x3－2x＋1x2>x2－2x＋1x2>0.

　　因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．

　　又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f (x)－g(x)>0，即f (x)>g(x)恒成立．

　　综上，a∈12，＋∞.

　　【点评】关键点拨：第(1)问中对a的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点．

　　测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题．(2)考生失分主要体现两点：①分类讨论不全面；②在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误．

　　6.（2016o课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）

　　已知函数 .

　　（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；

　　（Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围.

　　解：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，

　　当a＝4时，f (x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f ′(x)＝ln x＋1x－3，f ′(1)＝－2，f(1)＝0.

　　所以曲线y＝f (x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.

　　(2)当x∈(1，＋∞)时，f (x)>0等价于ln x－a（x－1）x＋1>0.

　　设g(x)＝ln x－a（x－1）x＋1，则g′(x)＝1x－2a（x＋1）2＝x2＋2（1－a）x＋1x（x＋1）2，g(1)＝0.

　　当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，即g′(x)>0，

　　g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；

　　当a>2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－（a－1）2－1，x2＝a－1＋（a－1）2－1.

　　由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，

　　因此g(x)<0，此时不满足题意．

　　综上，a的取值范围是(－∞，2]．

　　【点评】关键点拨：第一问，给定参数a＝4，函数f (x)就确定，从而可求出切点为(1，0)，再结合导数的几何意义，得到斜率k＝f′(1)＝－2，利用点斜式即可求出切线方程．第二问是恒成立问题，可适当转化，另外要注意函数的端点值，这样可以减少讨论的步骤．

　　测训诊断：(1)利用导数解决相关问题，往往都有一定的深度和广度，本题考查较常规，容易上手，但也不易得满分；(2)导数题区分度较大，要根据自身情况，量力而行，不轻易放弃，规范步骤，把会做的做好，也会有所收获．

    7.（2017·天津文）（本小题满分14分）

　　设 ， .已知函数 ， .

　　（Ⅰ）求 的单调区间；

　　（Ⅱ）已知函数 和 的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

　　（i）求证： 在 处的导数等于0；

　　（ii）若关于x的不等式 在区间 上恒成立，求b的取值范围.

　　解：（I）由 ，可得 ，

　　当x变化时， , 的变化情况如下表：

　　\ 的单调递增区间为（－?， ），（４－ ，＋?）单调递减区间为（ ，４－ ）．

　　(II)　 （i）因为  由题意得

　　所以

　　所以 在 处的导数等于０.

　　（ii）因为 ， ，由 ，可得 .

　　又因为 ， ，故 为 的极大值点，

　　由（I）知 .另一方面，由于 ，故 ，

　　由（I）知 在 内单调递增，在 内单调递减，

　　故当 时， 在 上恒成立，

　　从而 在 上恒成立.

　　由 ，得 ， ．

　　令 ， ，所以 ，

　　令 ，解得 （舍去）或 .

　　因为 ， ， ，故 的值域为 .

　　所以，b的取值范围是 .

　　8.（2016·江苏理）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．

　　（1）设a=2，b= ．

　　①求方程f（x）=2的根；

　　②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；

　　（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．

　　解： (1)因为a＝2，b＝12，所以f (x)＝2x＋2-x.

　　①方程f (x)＝2，即2x＋2-x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0.

　　②由条件知f(2x)＝22x＋2-2x＝(2x＋2-x)2－2＝[f (x)]2－2.

　　因为f(2x)≥mf (x)－6对于任意x∈R恒成立，且f (x)>0，

　　所以m≤[f（x）]2＋4f（x）对于任意x∈R恒成立．

　　而[f（x）]2＋4f（x）＝f (x)＋4f（x）≥2f（x）·4f（x）＝4，且[f（0）]2＋4f（0）＝4，

　　所以m≤4，故实数m的最大值为4.

　　(2)因为函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，

　　而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，

　　所以0是函数g(x)的唯一零点．

　　因为g′(x)＝axln a＋bxln b，又由0<a<1，b>1知ln a<0，ln b>0，

　　所以g′(x)＝0有唯一解x0＝logba－ln aln b.

　　令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝(axln a＋bxln b)′＝ax(ln a)2＋bx(ln b)2，

　　从而对任意x∈R，h′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．

　　于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)<g′(x0)＝0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>g′(x0)＝0.

　　因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．

　　下证x0＝0.

　　若x0<0，则x0<x02<0，于是gx02<g(0)＝0.

　　又g(loga2)＝alog2a＋blog2a－2>alog2a－2＝0，且函数g(x)在以x02和loga2为端点的闭区间上的图像不间断，所以在x02和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.

　　因为0<a<1，所以loga2<0．又x02<0，

　　所以x1<0，与"0是函数g(x)的唯一零点"矛盾．

　　若x0>0，同理可得，在x02和loga2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．

　　因此，x0＝0.

　　于是－ln aln b＝1，故lg a＋ln b＝0，所以ab＝1.

　　【解析】

　　【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围．

　　测训诊断：(1)本题难度大，主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，意在让学生得分．(2)本题若出错，一是思路受阻；二是运算错误．

　　9.（2016·山东理） (本题满分13分)

　　已知 .

　　（I）讨论 的单调性；

　　（II）当 时，证明 对于任意的 成立

　　解：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，

　　f ′(x)＝a－ax－2x2＋2x3＝（ax2－2）（x－1）x3.

　　当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，

　　x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减．

　　当a＞0时，f ′(x)＝a（x－1）x3x－2ax＋2a .

　　0＜a＜2时，2a＞1，

　　当x∈(0，1)或x∈2a，＋∞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，

　　当x∈1，2a时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减．

　　a＝2时，2a＝1，在x∈(0，＋∞)内，f ′(x)≥0，f (x)单调递增．

　　a＞2时，0＜2a＜1，

　　当x∈0，2a或x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，

　　当x∈2a，1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减．

　　综上所述，

　　当a≤0时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；

　　当0＜a＜2时，f (x)在(0，1)内单调递增，在1，2a内单调递减，在2a，＋∞内单调递增；

　　当a＝2时，f (x)在(0，＋∞)内单调递增；

　　当a＞2时，f (x)在0，2a内单调递增，在2a，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．

　　(2)由(1)知a＝1时，

　　f (x)－f ′(x)＝x－ln x＋2x－1x2－1－1x－2x2＋2x3＝x－ln x＋3x＋1x2－2x3－1，x∈[1，2]．

　　设g(x)＝x－ln x，h(x)＝3x＋1x2－2x3－1，x∈[1，2]，则f (x)－f ′(x)＝g(x)＋h(x)．

　　由x∈[1，2]，得g′(x)＝x－1x≥0，

　　可得g(x)≥g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得等号．

　　又h′(x)＝－3x2－2x＋6x4.

　　设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在x∈[1，2]内单调递减．

　　因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，

　　所以?x0∈(1，2)，使得x∈[1，x0)时，φ(x)＞0，x∈(x0，2]时，φ(x)＜0.

　　所以h(x)在[1，x0)内单调递增，在(x0，2]内单调递减．

　　由h(1)＝1，h(2)＝12，可得h(x)≥h(2)＝12，

　　当且仅当x＝2时取得等号．

　　所以f (x)－f ′(x)＞g(1)＋h(2)＝32，

　　即f (x)＞f ′(x)＋32对于任意的x∈[1，2]成立．

　　【点评】刷有所得：求函数的单调区间，应在函数定义域的限制之下，讨论函数导数值的符号．若函数的导数含参数，应分类讨论，分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系．证明函数不等式f (x)>g(x)，主要有两种方法：一是构造函数h(x)＝f (x)－g(x)，将问题转化为函数h(x)＝f (x)－g(x)的最小值大于0；二是证明f (x)min>g(x)max.

　　测训诊断：本题难度大，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归的数学思想，考查分析解决问题的能力、推理能力．若错．一是求函数单调区间时忽视函数的定义域为(0，＋∞)；二是在第(1)问中不能准确地对参数a进行分类讨论；三是(2)中的求解在构造函数f (x)－f ′(x)＝x－ln x＋3x＋1x2－2x3－1后不能将函数分解为g(x)＝x－ln x与h(x)＝3x＋1x2－2x3－1两个函数，而是将等式右边的式子作为一个整体构造函数，从而不能求得其最值．

　　10.  (2017·江苏文)（本小题满分16分）

　　已知函数 有极值，且导函数 的极值点是 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

　　(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

　　(2)证明：b?>3a;

　　(3)若 ，  这两个函数的所有极值之和不小于 ，求a的取值范围.

　　解：（1）因为 ，令 ，解得 ，

　　所以 ，所以 ，

　　因为 ，所以 .

　　（2） ，

　　因为对称轴 ，

　　所以 ，所以b?>3a.

　　（3）由（1）可设 的极值点的横坐标为 ， ； 极值点为 ，

　　由（1）得

　　\

　　即

　　解得 .