燕赵教育网讯（老虎）高考的考生们是否已经准备好了，数学复习是否已经把难题熟练掌握了，如果觉得还有什么地方没有复习到，那就看看向量的知识点，希望对你有所帮助。

    向量在三角形和平面解析几何中的应用真题

　　1.（2016·课标全国Ⅲ理）已知向量  ,  则 ABC=（    ）

　　A．30°              B．45°             C．60°              D．120°

　　2.（2015o课标全国Ⅰ文）已知点 ， ，向量 ，则向量 （     ）

　　A．     B．     C．     D．

　　3.(2017·浙江理）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则(    )

　　A．I１<I２<I３                B．I１<I３<I２            C． I３<I１<I２            D．I２<I１<I３

　　4.（2015·四川理）设四边形 为平行四边形， ， .若点 ， 满足， ， ，则 （   ）

　　A．20            B．15             C．9              D．6

　　5.（2015·课标全国Ⅰ卷理）设 为 所在平面内一点， ，则（    ）

　　A.             B.

　　C.            D.

　　6.（2015·课标全国Ⅰ卷理）已知 是双曲线 ： 上的一点， ， 是 的两个焦点.若 ，则 的取值范围是（    ）

　　A．                B．

　　C．          D．

　　7.（2014·课标全国Ⅰ理）已知A，B，C是圆O上的三点，若 ，则 与 的夹角为    ．

　　8.（2017·天津理）在 中， ， ， .若 ， ，且 ，则 的值为___________.

　　9.（2016·江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→=4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值是　　．

　　10.（2016o江苏卷文）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ，则 的值是___________.

　　11.(2017·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，A（－12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若 ，则点P的横坐标的取值范围是           .

　　12.（2016o江苏卷文）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆  的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是________ .

　　13.（2015o上海卷文）已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大值是________.

　　向量在三角形和平面解析几何中的应用-答案

　　1.（2016·课标全国Ⅲ理）已知向量  ,  则 ABC=（    ）

　　A．30°         B．45°          C．60°         D．120°

　　【答案】A

　　【解析】

　　∴

　　又∵∠ABC∈[0，180°]，∴∠ABC＝30°.

　　【点评】关键点拨:∠ABC＝ 借助向量数量积可求角．

　　刷有所得:若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos <a，b>＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x12＋y12x22＋y22，向量数量积应用主要体现在求角、求长度，判断平行与垂直等．

　　测训诊断:(1)本题难度较小，考查向量坐标运算和向量数量积应用．(2)本题若失分，主要是运算出错和对向量知识掌握不牢．

　　2.（2015o课标全国Ⅰ文）已知点 ， ，向量 ，则向量 （     ）

　　A．     B．     C．     D．

　　【答案】A

　　【解析】∵A(0，1)，B(3，2)，

　　∴AB→＝(3，1)．从而BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.

　　【点评】刷有所得：向量AB→的坐标即终点的坐标减去起点的坐标．

　　测训诊断：本题难度较易，主要考查向量减法的坐标运算．

　　3.(2017·浙江理）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则(    )

　　A．I１<I２<I３                B．I１<I３<I２            C． I３<I１<I２            D．I２<I１<I３

　　【答案】C

　　【解析】因为  ,所以 .选C.

　　4.（2015·四川理）设四边形 为平行四边形， ， .若点 ， 满足， ， ，则 （   ）

　　A．20            B．15             C．9              D．6

　　【答案】C

　　【解析】由于AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34AD→，

　　NM→＝NC→＋CM→＝13DC→＋14CB→＝13AB→－14AD→，

　　所以AM→·NM→＝AB→＋34AD→·13AB→－14AD→＝13AB→2－316AD→2＝13×36－316×16＝9，故选C.

　　【点评】关键点拨：以AB→和AD→为基底表示AM→与NM→，再利用数量积的运算律求解．

　　测训诊断：本题难度适中，主要考查平面向量的基本定理，基底选取不当容易导致失分．

    5.（2015·课标全国Ⅰ卷理）设 为 所在平面内一点， ，则（    ）

　　A.             B.

　　C.            D.

　　【答案】A

　　【解析】∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)．

　　整理，得3AD→＝－AB→＋4AC→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→，选A.

　　【点评】关键点拨：先观察选项，把题干中所给向量转化为选项中的向量．

　　刷有所得：将已知向量等式中的向量进行转化时，对于选择题要向选项靠拢；对于填空、解答题，要向选中的基底靠拢．向量的转化还可以考虑拆分，如把3AB→拆分成2AB→＋AB→.另外，如果题目中有明显的垂直线段，还可以考虑用坐标法．

　　测训诊断：本题难度较易，主要考查向量的线性运算，考查学生的运算能力．

　　6.（2015·课标全国Ⅰ卷理）已知 是双曲线 ： 上的一点， ， 是 的两个焦点.若 ，则 的取值范围是（    ）

　　A．                B．

　　C．          D．

　　【答案】A

　　【解析】由双曲线的方程知，F1(－3，0)，F2(3，0)，

　　从而MF→1＝(－3－x0，－y0)，MF→2＝(3－x0，－y0)，

　　从而MF→1·MF→2＝x20－3＋y20.

　　又因为M(x0，y0)在双曲线上，所以x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20.

　　所以MF→1·MF→2＝2＋2y20－3＋y20＝3y20－1＜0，故－33＜y0＜33，选A.

　　【点评】关键点拨：利用点(x0，y0)在双曲线上，将含有x0，y0的不等式转化为关于y0的不等式，即化繁为简，化二元为一元．

　　刷有所得：遇到两个甚至多个函数、不等式，我们可利用已知条件，化繁为简，减少变量个数，达到求解的目的．

　　测训诊断：本题难度中等，主要考查向量数量积运算，考查学生的运算求解能力．

　　7.（2014·课标全国Ⅰ理）已知A，B，C是圆O上的三点，若 ，则 与 的夹角为    ．

　　【答案】90°

　　【解析】∵AO→＝12(AB→＋AC→)，∴O为线段BC中点，∴BC为圆O直径，依据圆的几何性质，有∠BAC＝90°，∴AB→与AC→的夹角为90°．

　　【点评】关键点拨：解决本题的关键是从向量的关系得出点的位置．

　　测训诊断：(1)本题属于低档题，主要考查了圆的几何性质和向量加法及其运算，大多数考生能做对该题．(2)若错，主要是考生对向量加法运算法则模糊，由已知向量关系不能正确地判断O为线段BC中点．

　　8.（2017·天津理）在 中， ， ， .若 ， ，且 ，则 的值为___________.

　　【答案】

　　【解析】

　　则

　　\

　　9.（2016·江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→·CA→=4，BF→·CF→=－1，则BE→·CE→的值是　　．

　　【答案】78 【解析】设BD→＝a，DF→＝b，

　　则BA→·CA→＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF→·CF→＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，

　　解得|a|2＝138，|b|2＝58.则BE→·CE→＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝78.

　　【点评】关键点拨：用基底表示其他向量是本题的关键．

　　测训诊断：(1)本题难度中，主要考查向量的运算，考查学生的运算求解能力，意在让学生得分．(2)本题若出错，一是不能利用基底对向量进行有效转化；二是运算错误．

　　10.（2016o江苏卷文）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ，  ，则  的值是___________ .                                          【答案】78

　　【解析】设BD→＝a，DF→＝b，

　　则BA→·CA→＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF→·CF→＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，

　　解得|a|2＝138，|b|2＝58.

　　则BE→·CE→＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝78.

　　【点评】关键点拨：用基底表示其他向量是本题的关键．

　　测训诊断：(1)本题难度中，主要考查向量的运算，考查学生的运算求解能力，意在让学生得分．(2)本题若出错，一是不能利用基底对向量进行有效转化；二是运算错误．

　　11.(2017·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，A（－12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若 ，则点P的横坐标的取值范围是           .

　　【答案】

　　【解析】

　　设P(x,y)，由 ,易得 ，

　　由 得P点在圆弧AB上，结合限制条件，

　　可得P点横坐标的取值范围为

　　12.（2016o江苏卷文）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆  的右焦点，直线 与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是________ .

　　【答案】63

　　【解析】由题意可得B－32a，b2，C32a，b2，F(c，0)，

　　则由∠BFC＝90°，得BF→·CF→＝c＋32a，－b2·c－32a，－b2＝c2－34a2＋14b2＝0，

　　化简得3c＝2a，则离心率e＝ca＝23＝63.

　　【点评】刷有所得：直角或垂直关系可以利用两直线斜率乘积等于－1或向量的数量积等于0处理，将几何问题转化为代数问题，从而求解．

　　测训诊断：(1)本题难度中，主要考查椭圆的几何性质，考查学生的运算求解能力，意在让学生得分．(2)本题若出错，一是椭圆几何性质应用错误；二是椭圆中基本量的关系应用错误；三是运算错误．

　　13.（2015o上海卷文）已知平面向量 、 、 满足 ，且 ，则 的最大值是________. 【答案空缺1】3＋5

　　【解析】由题意可知a·b＝0,

　　|a＋b＋c|＝|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c

　　＝1＋4＋9＋2|a||c|cos θ＋2|b||c|cos θ1

　　＝14＋2|a||c|cos θ＋2|b||c|cos θ1，其中θ为向量a，c的夹角，θ1为向量b，c的夹角．

　　要求|a＋b＋c|的最大值，则|c|＝3，不妨令|a|＝1，|b|＝2，又由a⊥b，应使θ1＋θ＝90°，

　　故

　　|a＋b＋c|max＝(14＋2×3×cos θ＋2×3×2sin θ)max＝(14＋65sin（θ＋φ）)max

　　＝14＋65＝3＋5.

　　【点评】测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查平面向量的数量积、平面向量的模、三角恒等变换及三角函数的性质，考查转化与化归能力，意在让部分学生得分．(2)本题易失分，一是由于思路受阻无法进行合理转化；二是寻找最大值情况时分析有误．